Préliminaires

Soit K un corps fini.

On note p>0 sa caractéristique.
Comme K est un corps, p n’a pas de diviseur strict, et donc c’est un nombre premier.

On note \mathbb{F}_p le corps \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}.
Alors K est un \mathbb{F}_p-espace vectoriel de dimension finie.
On note n la dimension de K sur \mathbb{F}_p.
Le cardinal de K vaut alors p^n.
(On a démontré au passage que tout corps fini est de cardinal une puissance d’un nombre premier)

Pour tout entier n>0,
on note \Phi_n(X) \in \mathbb{Z}[X],
le n-ième polynôme cyclotomique.

On rappelle que pour tout entier n>0, on a

X^n - 1 = \prod_{d|n} \Phi_d(X),

où d parcourt les diviseurs de n.

Théorème de Wedderburn

Théorème – Wedderburn:
Tout corps fini est commutatif.

Notons qu’il existe des corps non-commutatifs (par exemple le corps des quaternions).

Preuve du théorème de Wedderburn

Etape 1: L’action par conjugaison

On note Z \subset K le centre de K.
C’est un corps commutatif et on note q son cardinal (c’est une puissance d’un nombre premier, mais ce n’est pas important pour la preuve).

On cherche à démontrer que Z = K

On note n la dimension de K sur Z.
Le cardinal de K vaut alors q^n.

On note K^\times le groupe des inversibles de K,
et pareil pour Z^\times.

On fait agir K^\times par conjugaison sur lui-même.
Les points fixes par cette action sont exactement les points de Z^\times.

Appliquons l’équation des classes:
soit x_1, \dots, x_r \in K une famille de représentants des orbites non-réduit à un singleton.

Alors l’équation des classes s’écrit:

\displaystyle{ |K^\times| = |Z^\times| + \sum_{i=1 \dots r} \frac{|K^\times|}{|\mathrm{Stab}(x_1)|} }.

Pour tout i=1 \dots r,
on note K_i \subset K le commutant de x_i:

K_i := \{ g \in K^\times ~|~ g \cdot x = x \cdot g \}.

On remarque que c’est un corps contenant Z.
On note n_i la dimention de K_i sur Z.
On a alors

|\mathrm{Stab}(x_i)| = |(K_i)^\times| = q^{n_i} -1.

L’équation des classes se réécrit alors:

\displaystyle q^n-1 = (q-1) + \sum_{i=1 \dots r} \frac{q^n - 1}{q^{n_i} - 1}.

Etape 2

Soit i \in \{1, \dots, r\} .
Montrons que n_i divise n.

Une première méthode simple consiste à remarquer que K est un K_i-espace vectoriel de dimension fini,
et donc |K| est une puissance de |K_i|,
ce qui permet de conclure: n_i | n.

Cependant K_i n’est pas un corps commutatif,
il faut donc admettre la notion de dimension sur les espaces-vectoriels sur des corps non-commutatifs.
On propose une preuve alternative plus élémentaire.

On sait que \frac{q^n - 1}{q^{n_i} - 1} est entier,
donc (q^{n_i} - 1) divise (q^n - 1).

L’astuce est de considérer la division euclidienne de n par n_i,
et de montrer que le reste est nul.

On note n = q \cdot n_i + r la division euclidienne de n par n_i.
On a alors

q^n -1 = (q^{n_i \cdot q} -1) \times q^r + (q^r -1).

Comme (q^{n_i} - 1) divise (q^n - 1) et (q^{n_i \cdot q} -1),
On en déduit qu’il divise aussi (q^r -1).

Comme (q^r -1) < (q^{n_i} - 1),
on en déduit que r=0.
Donc n_i divise n.

Etape 3: utilisation du polynôme cyclotomique

On rappelle que \Phi_n(X) divise X^n -1 et (X^n -1)/(X^{n_i} -1) dans \mathbb{Z}[X], pour tout i=1 \dots r.

En utilisant l’équation des classe,
on en déduit que \Phi_n(q) divise (q - 1).

Etape 4: Fin de la preuve

Il faut démontrer que n =1.
On raisonne par l’absurde.

Supposons que n \geq 2.
Montrons que |\Phi_n(q)| > |q-1|,
ce qui contredira \Phi_n(q) ~|~ (q-1).

On note \zeta = \exp(2i\pi/n) la racine primitive.
On a:

\displaystyle \Phi_n(q) = \prod_{\mathrm{pgcd}(d, n) = 1} (q - \zeta^d).

Pour tout d, on a

|q - \zeta^d| \geq \mathrm{Re}(q - \zeta^d) = q-1.

L’inégalité est strict car \zeta^d n’est jamais réel (puisque n \geq 2).
Donc |\Phi_n(q)| > |q-1|.
CQFD

Leçons concernées

• 101 – Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
• 112 – Corps finis. Applications.

Si tu as des remarques ou des questions n’hésites à les écrire en commentaire.