Espace compact
Bien que la notion de compacité puisse sembler abstraite de prime abord, en particulier lorsqu’on s’attarde sur sa définition, elle se révèle être d’une grande richesse en termes d’applications pratiques.
Il est important de noter que, dans cet article, notre discussion sur la compacité se limitera aux espaces métriques. Cette restriction nous permet de rester dans un cadre cohérent avec les exigences de l’agrégation, bien qu’elle puisse également s’appliquer dans des contextes plus généraux, tels que les espaces topologiques. Dans le contexte des espaces métriques, les propriétés topologiques sont exprimables en termes de convergence de suites, ce qui facilite leur compréhension et leur manipulation.
Cas de
Pour saisir pleinement l’importance de la notion de compacité et ses applications, il est essentiel de bien comprendre son application dans le cas spécifique de .
On rappelle les définitions/propriétés suivantes:
- Soit un sous-ensemble de .
est fermé si et seulement si toute de suite de convergente dans a sa limite dans . - Soit une suite.
Une extraction de une suite de type , avec strictement croissante.
On dit que admet une extraction convergente si il existe
strictement croissante telle que converge.
Théorème fondamental de la compacité – Bolzano-Weierstrass:
Soit est une partie fermée et bornée de .
Alors: toute suite de admet une extraction convergente dans .
Une manière concrète de reformuler le théorème: si est une suite dans une partie fermée et bornée, alors « passe une infinité de fois au même endroit ».
Plus formellement: il existe un point tel que tout voisinage de contient une infinité de termes de la suite.
Ceci conduit naturellement à la définition d’un espace compact:
Définition: Soit un espace métrique.
On dit que est compact si: toute suite de admet une extraction convergente.
Propriété de Borel-Lebesgue
Les espaces compactes vérifie la propriété suivant qu’on appelle la propriété de Borel-Lebesgue.
Lemme de Borel-Lebesgue:
Soit un espace métrique compact.
Soit une famille d’ouverts de telle que .
Alors il existe une partie finie telle que .
Dite de manière plus concise: tout recouvrement par des ouverts admet un sous-recouvrement fini.
Propriétés des espaces compacts
Théorème de Heine:
Soit et deux espaces métriques.
Soit une fonction continue.
On suppose que est compacte.
Alors est uniformément continue.
Preuve: On raisonne par l’absurde.
Supposons que n’est pas uniformément continue, i.e.
Alors il existe et deux suites et tels que:
Comme est compact, il existe une extraction telle que et convergent.
On note et .
Comme , on a .
Comme est continue, on a:
Or ,
donc .
Ce qui contredit . CQFD
Proposition – Image d’un compact:
Soit et deux espaces métriques.
Soit une fonction continue.
On suppose que est compacte.
Alors est compact.
Un corollaire important est:
Si est une fonction continue sur un compact à valeurs dans ,
alors est bornée et atteint ses bornes.
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