Espace compact

Publié par Auguste Hoang le

Bien que la notion de compacité puisse sembler abstraite de prime abord, en particulier lorsqu’on s’attarde sur sa définition, elle se révèle être d’une grande richesse en termes d’applications pratiques.

Il est important de noter que, dans cet article, notre discussion sur la compacité se limitera aux espaces métriques. Cette restriction nous permet de rester dans un cadre cohérent avec les exigences de l’agrégation, bien qu’elle puisse également s’appliquer dans des contextes plus généraux, tels que les espaces topologiques. Dans le contexte des espaces métriques, les propriétés topologiques sont exprimables en termes de convergence de suites, ce qui facilite leur compréhension et leur manipulation.

Cas de R\mathbb{R}

Pour saisir pleinement l’importance de la notion de compacité et ses applications, il est essentiel de bien comprendre son application dans le cas spécifique de R\mathbb{R}.

On rappelle les définitions/propriétés suivantes:

  • Soit FF un sous-ensemble de R\mathbb{R}.
    FF est fermé si et seulement si toute de suite de FF convergente dans R\mathbb{R} a sa limite dans FF.
  • Soit (un)nN(u_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite.
    Une extraction de (un)nN(u_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite de type (uϕ(n))nN(u_{\phi(n)})_{n \in \mathbb{N}}, avec ϕ\phi strictement croissante.
    On dit que (un)nN(u_n)_{n \in \mathbb{N}} admet une extraction convergente si il existe
    ϕ\phi strictement croissante telle que (un)nN(u_n)_{n \in \mathbb{N}} converge.

Théorème fondamental de la compacité – Bolzano-Weierstrass:
Soit KK est une partie fermée et bornée de R\mathbb{R}.
Alors: toute suite de KK admet une extraction convergente dans KK.

Une manière concrète de reformuler le théorème: si (un)(u_n) est une suite dans une partie fermée et bornée, alors (un)(u_n) « passe une infinité de fois au même endroit ».
Plus formellement: il existe un point xx tel que tout voisinage de xx contient une infinité de termes de la suite.

Ceci conduit naturellement à la définition d’un espace compact:

Définition: Soit XX un espace métrique.
On dit que XX est compact si: toute suite de XX admet une extraction convergente.

Propriété de Borel-Lebesgue

Les espaces compactes vérifie la propriété suivant qu’on appelle la propriété de Borel-Lebesgue.

Lemme de Borel-Lebesgue:
Soit KK un espace métrique compact.
Soit (Ui)II(U_i)_{I \in I} une famille d’ouverts de KK telle que iIUi=K\bigcup_{i \in I} U_i = K.
Alors il existe une partie finie JIJ \subset I telle que iJUi=K\bigcup_{i \in J} U_i = K.

Dite de manière plus concise: tout recouvrement par des ouverts admet un sous-recouvrement fini.

Propriétés des espaces compacts

Théorème de Heine:
Soit XX et YY deux espaces métriques.
Soit f:XYf : X \longrightarrow Y une fonction continue.
On suppose que XX est compacte.
Alors ff est uniformément continue.

Preuve: On raisonne par l’absurde.
Supposons que ff n’est pas uniformément continue, i.e.

ε>0,η>0,(x,y)X2,xyη et f(x)f(y)>ε.\exists \varepsilon>0, \forall \eta >0, \exists (x,y) \in X^2, \quad |x-y| \leq \eta \text{ et } |f(x)-f(y)| >\varepsilon.

Alors il existe ε>0\varepsilon>0 et deux suites (xn)n1(x_n)_{n \geq 1} et (yn)n1(y_n)_{n \geq 1} tels que:

n1,xnyn1n et f(xn)f(yn)>ε.\forall n \geq 1, \quad |x_n - y_n| \leq \frac{1}{n} \text{ et } |f(x_n)-f(y_n)| >\varepsilon.

Comme XX est compact, il existe une extraction ϕ\phi telle que (xϕ(n))n(x_{\phi(n)})_n et (yϕ(n))n(y_{\phi(n)})_n convergent.
On note x:=limxϕ(n)x := \lim x_{\phi(n)} et y:=limyϕ(n)y := \lim y_{\phi(n)}.
Comme limxϕ(n)yϕ(n)=0\lim |x_{\phi(n)} - y_{\phi(n)}| = 0, on a x=yx=y.

Comme ff est continue, on a:

limf(xn)f(yn)=f(x)f(y)\lim |f(x_n)-f(y_n)| = |f(x) - f(y)|

Or f(xn)f(yn)>ε|f(x_n)-f(y_n)| >\varepsilon,
donc limf(xn)f(yn)ε\lim |f(x_n)-f(y_n)| \geq \varepsilon.
Ce qui contredit x=yx=y. CQFD

Proposition – Image d’un compact:
Soit XX et YY deux espaces métriques.
Soit f:XYf : X \longrightarrow Y une fonction continue.
On suppose que XX est compacte.
Alors f(X)f(X) est compact.

Un corollaire important est:
Si ff est une fonction continue sur un compact à valeurs dans R\mathbb{R},
alors ff est bornée et atteint ses bornes.


0 commentaire

Laisser un commentaire

Emplacement de l’avatar

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *

Ce site utilise Akismet pour réduire les indésirables. En savoir plus sur comment les données de vos commentaires sont utilisées.