Bien que la notion de compacité puisse sembler abstraite de prime abord, en particulier lorsqu’on s’attarde sur sa définition, elle se révèle être d’une grande richesse en termes d’applications pratiques.

Il est important de noter que, dans cet article, notre discussion sur la compacité se limitera aux espaces métriques. Cette restriction nous permet de rester dans un cadre cohérent avec les exigences de l’agrégation, bien qu’elle puisse également s’appliquer dans des contextes plus généraux, tels que les espaces topologiques. Dans le contexte des espaces métriques, les propriétés topologiques sont exprimables en termes de convergence de suites, ce qui facilite leur compréhension et leur manipulation.

Cas de $\mathbb{R}$

Pour saisir pleinement l’importance de la notion de compacité et ses applications, il est essentiel de bien comprendre son application dans le cas spécifique de $\mathbb{R}$.

On rappelle les définitions/propriétés suivantes:

• Soit $F$ un sous-ensemble de $\mathbb{R}$.
  $F$ est fermé si et seulement si toute de suite de $F$ convergente dans $\mathbb{R}$ a sa limite dans $F$.
• Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite.
  Une extraction de $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de type $(u_{\phi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$, avec $\phi$ strictement croissante.
  On dit que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ admet une extraction convergente si il existe
  $\phi$ strictement croissante telle que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge.

Théorème fondamental de la compacité – Bolzano-Weierstrass:
Soit $K$ est une partie fermée et bornée de $\mathbb{R}$.
Alors: toute suite de $K$ admet une extraction convergente dans $K$.

Une manière concrète de reformuler le théorème: si $(u_n)$ est une suite dans une partie fermée et bornée, alors $(u_n)$ « passe une infinité de fois au même endroit ».
Plus formellement: il existe un point $x$ tel que tout voisinage de $x$ contient une infinité de termes de la suite.

Ceci conduit naturellement à la définition d’un espace compact:

Définition: Soit $X$ un espace métrique.
On dit que $X$ est compact si: toute suite de $X$ admet une extraction convergente.

Propriété de Borel-Lebesgue

Les espaces compactes vérifie la propriété suivant qu’on appelle la propriété de Borel-Lebesgue.

Lemme de Borel-Lebesgue:
Soit $K$ un espace métrique compact.
Soit $(U_i)_{I \in I}$ une famille d’ouverts de $K$ telle que $\bigcup_{i \in I} U_i = K$.
Alors il existe une partie finie $J \subset I$ telle que $\bigcup_{i \in J} U_i = K$.

Dite de manière plus concise: tout recouvrement par des ouverts admet un sous-recouvrement fini.

Propriétés des espaces compacts

Théorème de Heine:
Soit $X$ et $Y$ deux espaces métriques.
Soit $f : X \longrightarrow Y$ une fonction continue.
On suppose que $X$ est compacte.
Alors $f$ est uniformément continue.

Preuve: On raisonne par l’absurde.
Supposons que $f$ n’est pas uniformément continue, i.e.

$\exists \varepsilon>0, \forall \eta >0, \exists (x,y) \in X^2, \quad |x-y| \leq \eta \text{ et } |f(x)-f(y)| >\varepsilon.$

Alors il existe $\varepsilon>0$ et deux suites $(x_n)_{n \geq 1}$ et $(y_n)_{n \geq 1}$ tels que:

$\forall n \geq 1, \quad |x_n - y_n| \leq \frac{1}{n} \text{ et } |f(x_n)-f(y_n)| >\varepsilon.$

Comme $X$ est compact, il existe une extraction $\phi$ telle que $(x_{\phi(n)})_n$ et $(y_{\phi(n)})_n$ convergent.
On note $x := \lim x_{\phi(n)}$ et $y := \lim y_{\phi(n)}$.
Comme $\lim |x_{\phi(n)} - y_{\phi(n)}| = 0$, on a $x=y$.

Comme $f$ est continue, on a:

$\lim |f(x_n)-f(y_n)| = |f(x) - f(y)|$

Or $|f(x_n)-f(y_n)| >\varepsilon$,
donc $\lim |f(x_n)-f(y_n)| \geq \varepsilon$.
Ce qui contredit $x=y$. CQFD

Proposition – Image d’un compact:
Soit $X$ et $Y$ deux espaces métriques.
Soit $f : X \longrightarrow Y$ une fonction continue.
On suppose que $X$ est compacte.
Alors $f(X)$ est compact.

Un corollaire important est:
Si $f$ est une fonction continue sur un compact à valeurs dans $\mathbb{R}$,
alors $f$ est bornée et atteint ses bornes.