La théorie des actions de groupes joue un rôle crucial en mathématiques, ouvrant la porte à une multitude d’applications variées.

Le sujet est si central qu’une leçon lui est spécifiquement consacrée :
Leçon 101: « Groupe opérant sur un ensemble : exemples et applications ».

Dans cet article, nous vous proposons des éléments clés pour élaborer le plan de cette leçon.

Généralités sur les actions de groupe

Pour saisir ce que signifie une action de groupe, il est essentiel de commencer par comprendre la notion de groupe.

Un groupe est la donnée d’un ensemble G et d’une loi composition interne vérifiant des axiomes connus.
Autrement dit on peut composer deux éléments de G entre eux.
L’exemple fondamentale de loi, est la composition de fonctions sur un ensemble.

L’objectif de la théorie des actions de groupe est d‘établir une correspondance entre un groupe abstrait et le groupe des bijections d’un ensemble.

Définition d’une action de groupe:
Soit G un groupe et X un ensemble.
On note \mathrm{Bij}(X) le groupe des bijections sur X.
Une action du groupe G sur X est la donnée d’un morphisme de groupe

\rho : G \longrightarrow \mathrm{Bij}(X)

Les exemples standards d’actions de groupe sont les suivants:

• L’action par translation d’un groupe (G, \times) sur lui même:
  g \in G, x \in X:=G, \quad \rho(g) \cdot x = g \times x.
• L’action par conjugaison d’un groupe (G, \times) sur lui même:
  g \in G, x \in X:=G, \quad \rho(g) \cdot x = g \times x \times g^{-1}.
• L’action naturelle du groupe symétrique d’ordre n sur l’ensemble \{ 1, \dots, n\}.
• L’action naturelle du groupe linéaire \mathrm{GL}_n(\mathrm{R}) sur l’espace-vectoriel \mathrm{R}^n.

Action fidèle

Définition d’une action fidèle:
Soit \rho : G \longrightarrow \mathrm{Bij}(X) une action de groupe.
L’action est dite fidèle si \rho est injectif.

Si \rho est une action fidèle alors \rho induit un isormorphisme de G sur un sous groupe de \mathrm{Bij}(X).

Toute action quelconque se ramène à une action fidèle, en quotientant par le noyau.
C’est-à-dire qu’on peut définir \rho' : G/\mathrm{ker}(\rho) \longrightarrow \mathrm{Bij}(X) une représentation fidèle par:

\rho'(g \mod \mathrm{ker}(\rho)) \cdot x := \rho(g) \cdot x.

Exemples:

• L’action de G par translation sur lui même est fidèle.
  On peut en déduire le théorème de Cayley: G est isomorphe à un sous-groupe d’un groupe symétrique.
• L’action par conjugaison d’un groupe G sur lui même a pour noyau son centre \mathrm{Z}(G).
  L’image s’appelle les automorphismes intérieurs.
  Le groupe des automorphisme intérieur est alors isomorphes à G/\mathrm{Z}(G)
• L’action naturelle du groupe linéaire \mathrm{GL}_n(\mathrm{R}) sur l’espace projectif \mathrm{P}(\mathrm{R}^n) (ensemble des droites de \mathrm{R}^n) a pour noyau les homothéties linéaires.
  Le quotient s’appelle de groupe projectif linéaire \mathrm{PGL}_n(\mathrm{R}).

Orbite et stabilisateur

Définitions:
Soit \rho : G \longrightarrow \mathrm{Bij}(X) une action de groupe.
Soit x \in X.
L’orbite de x est l’ensemble le sous-ensemble de X:

\mathrm{Orb}(x) := \{ \rho(g) \cdot x , \quad g \in G \}.

Le stabilisateur de x est sous-groupe:

\mathrm{Stab}(x) := \{ g \in G ~|~ \rho(g) \cdot x = x \}.

Exemples:

• On considère l’action du groupe des rotations \mathrm{SO}_2(\mathbb{R}) sur le plan \mathbb{R}^2.
  L’orbite d’un point x est le cercle centré à l’origine de rayon \|x\|_2.
  C’est l’analogie avec l’orbite d’une planète.
• On considère l’action de \mathrm{GL}_n(\mathrm{R}) par conjugaison sur lui-même.
  L’orbite d’une matrice x \in \mathrm{GL}_n(\mathrm{R}) est l’ensemble des matrices conjugués à x.
  Son stabilisateur est le sous-groupe des matrices qui commutent avec x.

Une orbite s’interprète aussi comme classe d’équivalence pour la relation d’équivalence:

x \sim y \Longleftrightarrow \exists g \in G, \quad x = \rho(g) \cdot y.

On peut donc en déduire que X est l’union disjointe des orbites.
Dans le cas où X est fini, on obtient l’équation des classes:

\mathrm{Card}(X) = \sum_{i \in I} \mathrm{Card}(\mathrm{Orb}(x_i)),

où x_i parcourt un ensemble de représentants des orbites.

Le stabilisateur et l’orbite sont reliés par la proposition suivante.

Proposition:
Soit \rho : G \longrightarrow \mathrm{Bij}(X) une action de groupe.
Soit x.
L’application

G \longrightarrow X, \quad g \longmapsto \rho(g) \cdot x.

induit une bijection entre G / \mathrm{Stab}(x) et \mathrm{Orb}(x).

Corrolaire – La formule des classes:
Si G est un groupe fini, alors:

\mathrm{Card}(G) / \mathrm{Card}(\mathrm{Stab}(x)) = \mathrm{Card}(\mathrm{Orb}(x))

La formule de Burnside

La formule de Burnside est un théorème de dénombrement qui sert le plus souvent à calculer le nombre d’orbites d’une action de groupe.

Définition – Fixateur:
Soit \rho : G \longrightarrow \mathrm{Bij}(X) une action de groupe.
Soit g \in G.
Le fixateur de g est le sous-ensemble:

\mathrm{Fix}(g) = \{ x \in X ~|~ \rho(g) \cdot x = x \}.

Théorème – Formule de Burneside:
Soit \rho : G \longrightarrow \mathrm{Bij}(X) une action de groupe.
On suppose que G et X sont des ensembles finis.
On note N le nombre d’orbites distinctes.
Alors on a:

N \times \mathrm{Card}(G) = \sum_{g \in G} \mathrm{Fix}(g).

Applications sur les groupes finis

Donnons quelques théorèmes importants sur les groupes finis qui se démontrent à l’aide des actions de groupes.

Théorème de Cauchy:

Théorème de Cauchy:
Soit G un groupe fini.
Soit p un nombre premier divisant G.
Alors G admet un élément d’ordre p.

Preuve:
On définit l’ensemble:

X := \{ (g_1, g_2, \dots, g_p) \in G^p ~|~ g_1 \times g_2 \dots \times g_p = 1_G \}.

On fait agir le groupe \mathbb{Z}/p \mathbb{Z} sur X en faisant tourner les éléments: pour x = (g_1, g_2, \dots, g_p) et (k \mod p) \in \mathbb{Z}/p \mathbb{Z}:

\rho(k \mod p) \cdot x = (g_{1 +k \mod p}, g_{2 +k \mod p}, \dots, g_{p +k \mod p})

On remarque les choses suivantes:

• Pour g \in G tel que g^p = 1_G, l’élément (g, g,g, \dots g) est un élément de X et son orbite est de cardinal 1.
• Réciproquement tout élément de X d’orbite 1 est de ce type.

On cherche donc à montrer qu’il existe des orbites de cardinal 1, autre que (1_G, 1_G, \dots, 1_G).
On note N \geq 1 le nombre d’orbites de cardinal 1.

Le cardinal de X vaut \mathrm{Card}(G)^{p-1}.
Comme p divise \mathrm{Card}(G), on a:

\mathrm{Card}(X) \equiv 0 \mod p.

D’après l’équation des classes:

\mathrm{Card}(X) = \sum_{i \in I} \mathrm{Card}( \mathcal{O_i} ),

où \mathcal{O_i} désigne les orbites disjointes.

Pour tout i \in I , le cardinal \mathrm{Card}( \mathcal{O_i} ) divise \mathrm{Card}(\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}).
Donc \mathrm{Card}( \mathcal{O_i} ) vaut 1 ou p.

On a donc:

\mathrm{Card}(X) \equiv N \mod p.

Or \mathrm{Card}(X) \equiv 0 \mod p et N \geq 1.
Donc N \geq p. CQFD

Centre d’un p-groupe

Théorème:
Soit p un nombre premier.
Soit G un p-groupe non-réduit à 1.
Alors le centre de G est non-réduit à 1.

Preuve:
On note X := G et \rho l’action de G sur X par conjugaison.

On note Z le centre de G.

Soit \mathcal{O} une orbite.
Le cardinal de \mathcal{O} divise \mathrm{Card}(G).
Comme \mathrm{Card}(G) est une puissance de p:

• soit \mathrm{Card}(\mathcal{O}) = 1.
• soit \mathrm{Card}(\mathcal{O}) \equiv 0 \mod p.

D’autre part \mathcal{O} est de cardinal 1 si et seulement si c’est l’orbite d’un élément du centre.

D’après l’équation des classes:

\mathrm{Card}(X) = \sum_{i \in I} \mathrm{Card}( \mathcal{O_i} ),

où \mathcal{O_i} désigne les orbites disjointes.

Il y a \mathrm{Card}(Z) orbites de cardinal 1 et tous les autres orbites sont de cardinal congrue à (0 \mod p).
Donc:

\mathrm{Card}(Z) \equiv \mathrm{Card}(X) \mod p \equiv 0 \mod p.

Donc Z est non réduit à l’élément neutre. CQFD

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