Les séries entières constituent une catégorie essentielle dans l’univers des séries de fonctions.
Elles jouent un rôle crucial dans de nombreux domaines des mathématiques.

Cet article vise à présenter les concepts fondamentaux des séries entières, en s’adressant particulièrement à ceux qui souhaitent apprendre avec un minimum de prérequis.

Dans cet article, nous présentons toutes les notions importantes à connaître sur les séries entières.

Qu’est-ce qu’une série entière?

Pour comprendre les séries entières, il est essentiel de rappeler d’abord ce qu’est une série de fonctions.

Une série de fonctions est la donnée de deux suites de fonctions (S_n)_{n \in \mathbb{N}} et (u_n)_{n \in \mathbb{N}} telles que:

\displaystyle \forall N \in \mathbb{N}, \forall x, \quad S_N(x) = \sum_{n=0}^N u_n(x)

En général, on considère des séries de fonctions définies de \mathbb{R} vers \mathbb{R} ou bien \mathbb{C} vers \mathbb{C}, auquel cas on note parfois la variable z.
On appelle (u_n)_{n \in \mathbb{N}} le terme général de la série.
Une série de terme général (u_n)_{n \in \mathbb{N}} est plus souvent notée de manière synthétique : \sum u_n ou \sum u_n(x).

Définition d’une série entière:
Une série entière est une série de fonctions de la forme:

\displaystyle \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n x^n,

avec (a_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite de \mathbb{R} ou de \mathbb{C}.

Une série entière est donc en quelque sorte un « polynôme de degré infinie ».

Convergence d’une série entière

Lorsqu’on a une série ou une suite de fonctions, il est important de connaître sa convergence.

Le lemme suivant est premier résultat fondamental sur la convergence des séries entières.

Lemme d’Abel:
Soit \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n x^n, une série entière à valeurs dans \mathbb{R}.
Soit R>0. On suppose que la suite (|a_n| \cdot R^n)_{n} est bornée.
Alors pour tout r<R, la série de fonctions \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n x^n, converge normalement sur l’intervalle fermé [-r, r].

Preuve du lemme d’Abel:
Soit r<R.
Comme (|a_n| \cdot R^n)_{n} est bornée, il existe M>0 tel que:

\forall n \geq 0, \quad |a_n| \cdot R^n < M.

On a:

\forall n \geq 0, \quad \mathrm{sup}_{x \in [-r, r]} | a_n \cdot x^n| =|a_n| r^n \leq M \cdot (r/R)^n.

On a r/R < 1, donc la série géométrique \sum_n M \cdot (r/R)^n converge.
Par théorème de domination sur les séries, la série \sum_n \mathrm{sup}_{x \in [-r, r]} | a_n \cdot x^n| converge.

Ce qui prouve que \sum_n a_n \cdot x^n converge normalement sur [-r, r]. \square

Définition du rayon de convergence:
Soit \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n x^n, une série entière.
Son rayon de convergence est:

\mathrm{sup} \{ r \in \mathbb{R}_{\geq 0} \quad | \quad (|a_n| r^n)_{n \geq 0} \text{ est bornée} \}

On note de R le rayon de convergence.
Alors le lemme d’Abel implique que:

• La série converge simplement sur l’intervalle ouvert ]-R, R[.
• La convergence est normale sur tout intervalle compact.
• La fonction limite est continue.

D’autre part on peut voir que pour tout x tel que |x|>R, le terme général de la série numérique \sum_n a_n \cdot x^n est non-bornée.
Donc en dehors du l’intervalle fermé [-R, R] la série entière diverge grossièrement.

Exemples fondamentaux

Exemple 1

Prenons la série entière la plus simple: \sum_n x^n.

D’après la définition du rayon de convergence, on peut voir qu’il vaut R = 1.
Ainsi, on peut en déduire que la série converge vers une fonction continue sur l’intervalle ouvert ]-1,1[.

La formule de somme des suites géométriques, montre que la fonction limite est x \longmapsto \frac{1}{1-x}.

Exemple 2

Prenons la série entière: \sum_n \frac{x^n}{n!}.

On pose, pour tout n \geq 0, a_n = \frac{1}{n!}.

Soit R>0.
Par théorème de comparaison, la suite (a_n \cdot R^n)_{n \geq 0} tend vers 0, donc est bornée.

Ainsi le rayon de convergence de \sum_n \frac{x^n}{n!} est R = + \infty.

Le série converge donc vers une fonction continue sur \mathbb{R}.

Ce qu’il faut retenir

• Une série entière est une série de fonctions de la forme: \sum_n a_n \cdot x^n.
• Une série entière admet un rayon de convergence R.
• La série converge sur ]-R, R[ vers une fonction continue.

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